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| Titre de série : |
Tangente. Hors-série (Paris), 61 |
| Titre : |
Les ensembles : aux fondements des mathématiques |
| Type de document : |
texte imprimé |
| Editeur : |
Paris : Pole |
| Année de publication : |
2017 |
| Collection : |
Bibliothèque Tangente num. 61 |
| Importance : |
1 vol. (155 p.) |
| Présentation : |
ill., couv. ill. en coul. |
| Format : |
17 cm |
| ISBN/ISSN/EAN : |
978-2-84884-213-4 |
| Prix : |
22 |
| Catégories : |
[RAMEAU] Ensembles, Théorie axiomatique des
[RAMEAU] Théorie des ensembles
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| Index. décimale : |
51(07) Mathématiques - Didactique |
| Résumé : |
La theorie des ensembles a laisse un souvenir a tous ceux qui sont passes par les « maths modernes ». Son cadre axiomatique, que certains ont pu percevoir comme rigide, permet de « derouler » l'ensemble du savoir mathematique. Comment ? C'est ce que propose de decouvrir cet ouvrage en levant le voile sur l'origine et la construction de cette theorie.
Tout est parti d'un malaise scientifique profond, la crise des fondements. L'edifice mathematique, que l'on croyait solide et inalterable, etait en fait morcele de contradictions et d'objets mal definis ! L'introduction des ensembles a? la fin du XIXe siecle a permis d'assainir la situation, tout en donnant naissance a? son lot de paradoxes, d'impossibilites, de situations defiant l'intuition...
Un ensemble est une collection d'objets entre lesquels peuvent exister des relations diverses. C'est ainsi qu'emergent les notions de structures et de fonctions, qui regissent la majorite des concepts mathematiques. La construction des nombres et une nouvelle approche de la geometrie en decoulent de maniere naturelle. Une telle simplicite conceptuelle confere aux ensembles et aux fonctions une efficacite redoutable !
Aux fondements des
Mais choisir les bons axiomes pour developper la theorie des ensembles et decrire les mathematiques (et, au-dela, toutes les sciences !) n'est pas une mince affaire...
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| Note de contenu : |
Dossier : Histoire d'une theorie revolutionnaire
La theorie des ensembles est l'archetype meme d'une theorie structurante. Cette architecture abstraite n'est pas sortie de nulle part : elle trouve son origine dans des problemes relatifs aux fondements des mathematiques durant le XIXe siecle.
L'œuvre mathematique de Bourbaki - Une approche des mathematiques qui derange - Lewis Caroll, vers la logique moderne - Premieres utilisations des ensembles - Le jeu de Dobble - Borges, la Bibliotheque de Babel - L'hotel de Hilbert
Dossier : Ensembles, relations, applications : une nouvelle approche
Au-dela de leur representation naive en «patatoides» connue sous le nom de «diagrammes de Venn», les ensembles offrent un cadre a une formalisation rigoureuse applicable a tous les domaines des mathematiques.
De la collection d'objets a l'ensemble - L'ensemble et ses parties - Les diagrammes en patate, une idee qui donne la frite - Relations et applications : structurer les ensembles - Eblouissantes relations binaires - La medaille Hausdorff - Construire des nombres, une histoire au long cours - Un pour un - Le nom des elements d'un ensemble
Dossier : Operations, structures, nombres
Les nombres sont au centre de l'edifice mathematique. Apres un long regne de l'intuition, le besoin d'une axiomatique rigoureuse s'est fait sentir. Celle introduite par Peano pour definir les entiers naturels en est le plus bel exemple. Les operations, elles aussi, entrent dans un cadre structurel d'une grande richesse.
Kurt Godel et l'indecidabilite - Adherez aux groupes ! - Qu'est-ce qu'un groupe ? - La dimension fractale de l'ensemble triadique - La naissance des concepts algebriques - L'algebre logique de George Boole.
Dossier : Infini et paradoxes
Une etude des axiomes sur lesquels la theorie des ensembles est fondee fait emerger la notion d'infini, mais aussi des paradoxes : un ensemble peut-il e?tre membre de lui-meme ? Combien de types d'infinis existent-ils ?
Une breve histoire de l'infini - Georg Cantor : passer du fini a l'infini - La multiplicite des infinis - Le roman de Lotfi Zadeh - Les ensembles flous : modeliser les appartenances incertaines - John von Neumann, mesure et demesure
Dossier : Axiomatique
On reproche souvent a la theorie des ensembles son caractere formel, abstrait, axiomatique. Pourtant, de nombreuses richesses emanent d'un cadre general que l'on pourra decliner selon les envies et les besoins !
Mais que sont les axiomes ? - La tentative de Zermelo pour eliminer les paradoxes - L'axiome du choix, si naturel, et pourtant si e?tonnant... - L'axiomatisation du hasard - Aux sources de la topologie - Dix problemes en patates
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| Cycle : |
Généralités |
| Permalink : |
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